Topic:
Schwalle wie bist du jetzt verblieben?
Mein Vorschlag wäre:
2 von denen und eine D5,7 basteln
http://www.tradoria.de/p/aluminium-tauchflasche-5-7-l-40cuf-ohne-ventil-200-bar-44116652
oder
hier 11,1 Alu
http://www.tek-diver-shop.de/de/Tauchflaschen/Aluminiumtauchflaschen/Aluminium-Tauchflasche-111-L-80cuf-ohne-Ventil.html
viel glück noch bei der suche
OT:
"Mathematische Kugeln berühren sich in genau einem Punkt, die Fläche ist 0. Dieses gilt nur für die mathematischen Objekte. Reale Gegenstände berühren sich nicht, oder berühren sich auf einer endlichen Fläche.
Eine erste Abschätzung für reale Kugeln kann über die Druckfestigkeit des Materials erfolgen.
Werden die beiden Kugeln mit einer bestimmten Kraft F aneinander gehalten, gegeneinandergedrückt, so muss das Material der Kugel dem entstehenden Druck standhalten. Druck ist Kraft pro Fläche. Die Druckfestigkeit ist materialabhängig. V2A Stahl hält einem Druck von 700 N/mm² stand, reines Aluminium einem Druck von 13 N/mm². [1]
Bei einer Kraft von 1 N (entspricht der Gewichtskraft von 100 g) ergibt sich so eine minimale Fläche bei V2A Stahl von 0,002 mm² und bei Aluminium von 0,08 mm². Wäre die Fläche kleiner, so wurde der Druck das Material zerstören, bis eine ausreichend große Kontaktfläche entstanden ist.
Eine etwas aufwendigere Abschätzung der Fläche geht über die elastische Verformung der beiden Kugeln.
Zur Berechnung der elastischen Verformung betrachte ich eine Kugel mit Radius R, die auf eine ebene Fläche gedrückt wird, die sich nicht verformt. Das entspricht dem Zusammendrücken von zwei gleichen Kugeln, wobei die "Linie in der Mitte" diese unendlich harte Fläche ist.
Wird ein Stab der Länge L um deltaL zusammengedrückt, so muss dafür ein Druck E * deltaL/L ausgeübt werden. E ist das Elastizitätsmodul und beschreibt wie stark das Material auf die äußere Kraft reagiert. Es ist eine Materialkonstante, die gemessen und in Tabellen zu finden ist.
Es handelt sich hier um eine Kugel, die Geometrie ist aufwendiger zu behandeln. Die auftretenden Verformungen könnten komplizierter sein, als bei einem Stab. Für eine Abschätzung nehme ich an, dass die Verformung ähnlich aussieht, so als wäre die Kugel aus vielen kleinen Stäben zusammengesetzt.
Skizze: Eine Kugel skizziert als Kreis mit Radius R. Diese Kugel ist so zusammengedrückt, dass eine Seite flach zu einer Kreisschreibe mit Radius k geworden ist. In der Skizze ist das eine senkrechte Linie, die von dem Kreis ein kleines Segment abschneidet.
Die Länge L der Stäbe ist abhängig von der radialen Koordinate r. r sei gemessen in der Ebene der flachgedrückten Fläche, also längs der skizzierten Linie.
Bei r = 0 ist L = 2*R bei r = R ist L = 0. Für die Zwischenwerte findet sich in der Skizze ein Dreieck, mit Pythagoras ist (L/2)^2 + r^2 = R^2 also
L = 2 * Wurzel( R^2 - r^2 )
Die Verformung deltaL ist deltaL = L/2 - d mit d der Abstand der Schnittlinie vom Mittelpunkt, wie gut in der Skizze zu sehen ist. Für die Berechnung von d ergibt sich in der Skizze ein Dreieck und daraus folgt k^2 + d^2 = R^2.
d = Wurzel( R^2 - k^2 )
deltaL = L/2 - d
deltaL = L/2 - Wurzel( R^2 - k^2 )
deltaL = Wurzel( R^2 - r^2 ) - Wurzel( R^2 - k^2 )
Der Druck bei Radiuskoordinate r ist also:
p = E * deltaL/L
p = E * ( Wurzel( R^2 - r^2 ) - Wurzel( R^2 - k^2 ) )/( 2 * Wurzel( R^2 - r^2 ) )
p = (E/2) * ( 1 - Wurzel( R^2 - k^2 ) / Wurzel( R^2 - r^2 )
Für die Berechnung der Kraft aus dem Druck p(r) muss über die Kreisfläche integrierte werden. Die Kreisfläche ist mit Winkel phi und Radius r parametrisiert.
F = Integral( über phi von 0 bis 2*Pi von Integral( r von 0 bis k von r*p(r) )
Das Integral über den Winkel liefert nur den Faktor 2*Pi. Das Integral x/Wurzel(a^2-x^2) über x findet sich in Tabelle [4] und damit
F = (2*Pi*E/2) * ( r^2/2 + Wurzel(R^2-r^2)*Wurzel(R^2-k^2) ) in den Grenzen 0 bis k
F = Pi*E * ( k^2/2 + Wurzel(R^2-k^2)*Wurzel(R^2-k^2) - Wurzel(R^2)*Wurzel(R^2-k^2) )
F = Pi*E * ( k^2/2 + R^2 - k^2 - R*Wurzel(R^2-k^2) )
F = Pi*E * ( R^2 - R*Wurzel(R^2-k^2) - k^2/2 )
Die Funktion ist recht unübersichtlich. k ist der Radius der Kontaktfläche, dieser Radius wird klein sein. Also kann die Funktion um k=0 in der Taylorreihe entwickelt werden. Die Ableitungen nach k ausrechnen und die Werte bei k=0 ergeben für die ersten Glieder der Reihe:
F(k=0) = 0
F`(k=0) = 0
F``(k=0) = 0
F```(k=0) = 0
F````(k=0) = 3*Pi*E/R^2
Also ist die Näherung für die Kraft
F = ( Pi * E * k^4 )/( 8*R^2 )
Bei einer Stahlkugel mit Radius R = 25 mm, die mit einer Kraft von F = 1 N auf die Fläche gedrückt wird ergibt sich mit E = 195*10^3 N/mm^2 ein Radius k = 0,30 mm. Das ist eine Kontaktfläche von Pi*k^2 = 0,3 mm^2.
Zur Abrundung des Themas ein Blick auf die kleinsten technisch realisierten Kontaktflächen: Beim Rasterkraft-Mikroskop (AFM, Atomic Force Microscope) wird eine Probe mit einer Spitze abgetastet. Eine typische Spitze hat eine Länge von 20 µm und an der Spitzen einen Radius von 10 nm. Daraus ergibt sich grob eine Berührungsfläche im Bereich von 300 nm² = 3*10^-10 mm². Beim Abrastern wird die Spitze mit einer Kraft im Bereich von 1 pN = 10^-12 N auf den zu untersuchenden Körper gedrückt. [2] Im Web siehe dazu auch [3].
Quelle(n):
[1] Hering, Martin, Stohrer: Physikalisch-Technisches Taschenbuch, VDI Verlag
[2] Kittel: Einführung in die Festkörperphysik, Oldenbourg Verlag
[3] http://de.wikipedia.org/wiki/Rasterkraft…
[4] Bronstein-Semendjajew: Taschenbuch der Mathematik, Verlag Harri Deutsch" zitat ende
